Курс:
09. Стереометрия
№ 1 Сүйір бұрышы 30° тік бұрышты үшбұрышқа сырттай сызылған дөңгелектің центрінен, оның жазықтығына ұзындығы 6-ға тең перпендикуляр жүргізілген. Үшбұрыштың жазықтығынан тыс жатқан перпендикулярдың ұшынан үлкен катетке дейінгі қашықтығы 10. Үшбұрыштың гипотенузасын табыңыз.
Жауабы: $32$
№ 2 $ABC$ тік бұрышты үшбұрыштың катеттері 15 және 20-ға тең. Осы үшбұрыштың жазықтығына $C$ тік бұрышының төбесінен $CD=35$ перпендикуляры жүргізілген. $D$ нүктесінен $AB$ гипотенузасына дейінгі қашықтықты табыңыз.
Жауабы: $37$
№ 3 Дөңгелектің центрінен оның жазықтығына $OD$ перпендикуляры жүргізілген. Егер перпендикулярдың ұзындығы $a$-ға тең, ал дөңгелектің ауданы $S$ болса, осы перпендикулярдың $D$ ұшынан шеңбердің бойындағы нүктелерге дейінгі қашықтықты анықтаңыз.
Жауабы: $\sqrt{\dfrac{S}{\pi}+a^2}$
№ 4 Жазықтық берілген: кеңістіктің белгілі бір нүктесінен осы жазықтыққа ұзыңдықтары 20 және 15 болатын екі көлбеу жүргізілген; олардың біріншісінің жазықтықтағы проекциясы 16-ға тең. Екінші көлбеудің жазықтықтағы проекциясын табыңыз.
Жауабы: $9$
№ 5 Кеңістіктің белгілі бір нүктесінен осы жазықтыққа б-ға тең перпендикуляр және ұзындығы 9 болатын көлбеу жүргізілген. Көлбеуге түсірілген перпендикулярдың проекциясын табыңыз.
Жауабы: $4$
№ 6 Тең қабырғалы үшбұрыштың қабырғасы 3-ке тең. Әр төбесінен қашықтығы 2 болатын нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты анықтаңыз.
Жауабы: $1$
№ 7 Белгілі бір нүктеден жазықтыққа екі көлбеу жүргізілген, олардың әрқайсысы 2-ге тең; олардың арасындағы бұрыш 60°, ал олардың проекциялары арасындағы бұрыш - тік бұрыш. Осы нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты табыңыз.
Жауабы: $\sqrt{2}$
№ 8 $ABCD$ төртбұрышы - квадрат, $O$ нүктесі - оның центрі. $OM$ түзуі квадраттың жазықтығына перпендикуляр. Егер $AB=4, OM=1$ болса, $MA$-ны табыңыз.
Жауабы: $3$
№ 9 $ABC$ тең бүйірлі үшбұрышының бүйір қабырғасы 15-ке тең, ал табаны $AC=6$. Оған іштей сызылған дөңгелектің центрінен үшбұрыштың жазықтығына 2-ге тең $OK$ перпендикуляры жүргізілген. $K$ нүктесінен үшбұрыштың қабырғаларына дейінгі қашықтықтарды табыңыз.
Жауабы: $\sqrt{10}$
№ 10 $ABCD$ ромбының жазықтығынан тыс жатқан $S$ нүктесі оның төбелерінен бірдей қашықтықта орналасқан. Егер $BD=8$ болса, $ABCD$ ауданын табыңыз.
Жауабы: $32$
№ 11 $S$ нүктесінен $\alpha$ жазықтығына $SB$ көлбеуі жүргізілген, оның $\alpha$ жазыктығындағы проекциясы $AB$ кесіндісі. Егер $SA=5, SB=13$ болса, $AB$-ны есептеңіз.
Жауабы: $12$
№ 12 $ABC$ тең бүйірлі үшбұрышының $AC$ табаны 12, бүйір қабырғасы 10. $A$ төбесінен $ABC$ үшбұрышының жазықтығына перпендикуляр $AD = 6$ кесіндісі жүргізілген. $D$ нүктесінен $BC$ қабырғасына дейінгі қашықтықты табыңыз.
Жауабы: $10$
№ 13 Нүктеден жазықтыққа ұзындықтары 4 және 8 болатын екі көлбеу жүргізілген. Егер олардың жазықтықтағы проекцияларының қатынасы $1:7$ қатынасындай болса, нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты табыңыз.
Жауабы: $\sqrt{15}$
№ 14 Тік бұрышты үшбұрыштың тік бұрышының төбесінен оның жазықтығына ұзындығы 5 болатын, перпендикуляр жүргізілген. Осы перпендикулярдың төбесінен гипотенузаның ұштарына дейінгі қашықтықтары 9 және 13. Үшбұрыштың гипотенузасын анықтаңыз.
Жауабы: $10 \sqrt{2}$
№ 15 $ABC$ тік бұрышты үшбұрыштың тік бұрышының төбесінен осы үшбұрыштың жазықтығына $CM$ перпендикуляры жүргізілген. Егер $CM=1, AM = BM =3$ болса, $AB$ гипотенузасын табыңыз.
Жауабы: $4$
№ 16 Екі нүктенің жазықтықтан қашықтықтары 8 және 23-ке тең; осы жазықтыққа берілген нүктелерден түсірілген перпендикулярлардың табандары арасындағы қашықтық 20-ға тең. Берілген нүктелер арасындағы қашықтықты есептеңіз (нүктелер жазықтықтың бір жағында жатыр).
Жауабы: $25$
№ 17 $AB$ кесіндісінің ұзындығы 15, ал осы кесіндінің жазықтықтағы проекциясы - 12-ге тең. Осы кесіндінің $A$ төменгі ұшының жазықтықтан қашықтығы 16. Осы кесіндінің $B$ жоғарғы ұшы жазықтықтан қандай қашықтықта болады? ( $AB$ кесіндісі жазықтықты қиып өтпейді).
Жауабы: $25$
№ 18 $AB$ кесіндісінде $C$ нүктесі таңдап алынған, мұндағы $AC:CB =3:5$. $A$ нүктесінен 12, ал $B$ нүктесінен 28-ге тең қашықтықта болатындай $C$ нүктесінен жазықтыққа дейінгі қашықты табыңыз ( $AB$ кесіндісі жазықтықты қиып өтпейді).
Жауабы: $18$
№ 19 Қабырғасы 6 және бұрышы 60° болатын ромб берілген. $M$ нүктесінің ромб жазықтығынан қашықтығы 3-ке тең және оның қабырғаларынан тұратын түзулерден бірдей қашықтықта. Осы қашықтықты табыңыз.
Жауабы: $\dfrac{3 \sqrt{7}}{2}$
№ 20 $\alpha$ жазықтығынан тыс жатқан $A$ нүктесінен осы жазықтыққа дейінгі қашықтық 5-ке тең. $\alpha$ жазықтығыңда жатқан $BC$ түзуінен $A$ нүктесінің осы жазықтықтағы проекциясына дейінгі қашықтық 12. $BC$ түзуінен бастап, $A$ нүктесіне дейінгі қашықтықты анықтаңыз.
Жауабы: $13$
№ 21 Тік бұрышты үшбұрыштың барлық төбелерінен 6,5 қашықтықта болатын нүкте берілген. Катеттері 3 және 4-ке тең болса, осы нүктеден үшбұрыш жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.
Жауабы: $6$
№ 22 Тік бұрышты үшбұрыштың катеттері 6 және 8. $M$ нүктесінен үшбұрыштың әр қабырғасына дейінгі қашықтығы 2,5-ға тең. $M$ нүктесінен үшбұрыш жазықтығына дейінгі қашықты табыңыз.
Жауабы: $1.5$
№ 23 Табаны 48 болатын тең бүйірлі үшбұрыштың ауданы 768-ге тең. Үшбұрыштың төбелерінен бірдей қашықтықта орналасқан үшбұрыш жазықтығынан тыс жатқан нүктеден осы жазықтыққа дейінгі қашықтық 60. Осы нүктеден үшбұрыш төбелеріне дейінгі қашықтықты табыңыз.
Жауабы: $65$
№ 24 $ABC$ үшбұрышының $A$ төбесінен үшбұрыш жазықтығына $AK$ перпендикуляры жүргізілген. Егер $AC= AB=13, BC =10, AK =16$ болса, $BCK$ үшбұрышының ауданын табыңыз.
Жауабы: $100$
№ 25 Тең бүйірлі үшбұрыштың табаны мен биіктігі 4-ке тең. Төбелерінен бірдей қашықтықта орналасқан және үшбұрыш жазықтығынан қашықтығы б-ға тең нүкте берілген. Осы нүктеден үшбұрыш төбелеріне дейінгі қашықтықты табыңыз.
Жауабы: $6.5$
№ 26 $ABC$ үшбұрышындағы $AC= BC=10, \angle B=30°$. $BD$ түзуі үшбұрыш жазықтығына перпендикуляр, $BD=5$. $D$ нүктесінен $AC$ түзуіне дейінгі қашықтықты табыңыз.
Жауабы: $10$
№ 27 Үшбұрыштың қабырғалары 10; 17 және 21. Осы үшбұрыштың үлкен бұрышының төбесінен оның жазықтығына 15-ке тең перпендикуляр жүргізілген. Оның ұштарынан үлкен қабырғаға дейінгі қашықтықты анықтаңыз.
Жауабы: $8;17$
№ 28 $ABC$ үшбұрышындағы $C$ бұрышы тік; $CD$ осы үшбұрыштың жазықтығына перпендикуляр. $D$ нүктесі $A$ және $B$ нүктелерімен қосылған. Егер $CA=3, BC=2, CD=1$ болса, $ADB$ үшбұрышының ауданын анықтаңыз.
Жауабы: $3.5$
№ 29 $ABCD$ төртбұрышының $A$ төбесінен оның жазықтығына $АK$ перпендикуляры жүргізілген, оның $K$ ұшының басқа төбелерден қашықтығы 6; 7 және 9. $AK$ ұзындығын табыңыз.
Жауабы: $2$
№ 30 Гипотенузадан қашықтығы 10-ға тең $ABC$ тік бұрышты үшбұрышының $C$ тік бұрышының төбесі арқылы гипотенузаға параллель жазықтық жүргізілген. Осы жазықтықтағы катеттердің проекциясы 30 және 50-ге тең. Осы жазықтықтағы гипотенузаның проекциясын табыңыз.
Жауабы: $60$
№ 31 Табаны $AC=18$ және бүйір қабырғасы 15-ке тең $ABC$ тең бүйірлі үшбұрышы берілген. Оған іштей сызылған шеңбердің $O$ центрі арқылы осы үшбұрыш жазықтығына $OK =6$ перпеңдикуляры жүргізілген. $K$ нүктесі мен үшбұрыштың қабырғалары арасындағы қашықтықты табыңыз.
Жауабы: $7.5$
№ 32 $ABCD$ тік төртбұрышының жазықтығына $А$ төбесінен $AE$ перпендикуляры жүргізілген. Егер $EB, EC$ және $ED$ сәйкесінше 15, 24 және 20 болса, осы перпендикулярдың ұзындығын анықтаңыз.
Жауабы: $7$
№ 33 Тең бүйірлі трапецияның табандары сәйкесінше 4 және 9-ға тең. Оның әр қабырғасынан қашықтығы 5-ке тең трапецияның жазықтығынан тыс жатқан $M$ нүктесі алынған. $M$ нүктесі трапеция жазықтығынан қандай қашықтықта екендігін анықтаңыз.
Жауабы: $4$
№ 34 Ромбының қабырғасының ортасынан оның жазықтығына перпендикуляр жүргізілген, оның жоғарғы ұшы ромбтың 16-ға тең үлкен диагоналінен қашықтығы ромб қабырғасының жартысына тең. Осы перпендикулярдың ұзындығын анықтаңыз.
Жауабы: $4$
№ 35 $ABC$ тік бұрышты үшбұрышының $A$ бұрышы 30°, ал гипотенузасы 8-ге тең. $A$ төбесінен үшбұрыштың жазықтығына ұзындығы 1-ге тең $AK$ перпендикуляры жүргізілген. $K$ нүктесінен қарсы жатқан катеттің перпендикулярына дейінгі қашықтықты анықтаңыз.
Жауабы: $7$
№ 36 Тең бүйірлі үшбұрыштың табаны мен биіктігі 8-ге тең. Нүкте үшбұрыш жазықтығынан қашықтығы 12-ге тең және оның төбелерінен бірдей қашықтықта болады. Осы қашықтықты табыңыз.
Жауабы: $13$
№ 37 $ABCD$ параллелограмындағы $A$ және $D$ төбелері берілген жазықтықта жатыр, ал басқа екеуі осы жазықтықтан тыс жатыр. $AB =15, BC=19$, ал жазықтықтағы параллелограмм диагональдарының проекциясы 20 және 22-ге тең. Осы жазықтықтағы параллелограмм қабырғаларының проекцияларын анықтаңыз.
Жауабы: $9; 19$
№ 38 $ABC$ үшбұрышында $AB=13, BC=14, AC=15$ екендігі белгілі. $A$ төбесінен оның жазықтығына 5-ке тең $AD$ перпендикуляры жүргізілген. $D$ нүктесінен $BC$ түзуіне дейінгі қашықтықты табыңыз.
Жауабы: $13$
№ 39 Трапецияның табандары 28 және 36. Трапеция диагональдарының қиылысу нүктесінің кіші табан арқылы жүргізілген жазықтықтан қашықтығы 14-ке тең. Трапецияның үлкен табанынан осы жазықтыққа дейінгі қашықтықты анықтаңыз.
Жауабы: $32$
№ 40 Радиусы 2-ге тең шеңбердің бойынан алынған $A$ нүктесінен, дөңгелектің жазықтығына ұзындығы 1-ге тең $AK$ перпендикуляры жүргізілген. $A$ нүктесінен $AB$ диаметрі, ал $B$ нүктесінен диаметрмен 45° бұрыш жасайтын $BC$ хордасы жүргізілген. $K$ нүктесінен $BC$ хордасына дейінгі қашықтықты анықтаңыз.
Жауабы: $3$
Google