4.1.2. Тригонометриялық формулалары көмегімен өрнекті ықшамдау

Фукнцияның жұп-тақтылығын қолданамыз:
$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$, $\cos(-\alpha)=\cos\alpha,$
$\tg(-\alpha)=-\tg\alpha$, $\ctg(-\alpha)=-\ctg\alpha.$
Бастапқы өрнекті жазамыз:
$\dfrac{-\sin\alpha\cdot(-\tg\alpha)}{\cos\alpha\cdot(-\ctg\alpha)}$
Жоғарғы жағы: $\sin\alpha\cdot\tg\alpha$, төменгі жағы: $-\cos\alpha\cdot\ctg\alpha$
Формулалармен ауыстырамыз:
$\tg\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, $\ctg\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

Енді:
$\dfrac{\sin\alpha\cdot\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{-\cos\alpha\cdot\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}=\dfrac{\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}}{-\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}}$
Көбейтеміз:
$\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}\cdot\dfrac{\sin\alpha}{-\cos^2\alpha}=\dfrac{-\sin^3\alpha}{\cos^3\alpha}$
Жауабы: $-{\tg}^3 \alpha$

Тангенс формуласы: $1+\tg^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$
Сондықтан өрнек былай болады:
$\left(\dfrac{1}{\cos^2\alpha}+\dfrac{1}{\sin^2\alpha}\right)\cdot\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha$
Екі қосылғышты жеке-жеке көбейтеміз:
$\dfrac{\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\dfrac{\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$

Бірінші бөлшек: $\sin^2\alpha$, екінші бөлшек: $\cos^2\alpha$
Сондықтан:
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$
Жауабы: $1$

Қарама-қарсы бөлшектердің қосындысы берілген:
Бірінші бөлшек: $\dfrac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}$
Екінші бөлшек: $\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$
Енді ортақ көбейткішпен көбейтіп жазамыз:
$\dfrac{\sin^2\alpha+(1-\cos\alpha)^2}{\sin\alpha(1-\cos\alpha)}$

Жоғарғы жағын ашамыз:
$\sin^2\alpha+1-2\cos\alpha+\cos^2\alpha=1+1-2\cos\alpha=2-2\cos\alpha$
Бөлшек: $\dfrac{2(1-\cos\alpha)}{\sin\alpha(1-\cos\alpha)}$
$1-\cos\alpha$ қысқарады:
$\dfrac{2}{\sin\alpha}$
Жауабы: $\dfrac{2}{\sin\alpha}$

Тангенс тригонометриялық тепе-теңдік: $1+\tg^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$
Орнына қоямыз:
$\cos^2\alpha\cdot\dfrac{1}{\cos^2\alpha}-\sin^2\alpha=1-\sin^2\alpha$

$1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha$ (негізгі тригонометриялық тепе-теңдік)
Жауабы: $\cos^2\alpha$

$2\sin^2\alpha-1$ — бұл қос аргумент формуласы бойынша:
$2\sin^2\alpha-1=\sin^2\alpha-\cos^2\alpha$
Яғни
$\dfrac{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}$
Бұл айырма квадрат формуласы:
$\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=(\sin\alpha-\cos\alpha)(\sin\alpha+\cos\alpha)$

Бөлшек:
$\dfrac{(\sin\alpha-\cos\alpha)(\sin\alpha+\cos\alpha)}{\sin\alpha+\cos\alpha}$
$ \sin\alpha+\cos\alpha$ қысқарады:
Қалады: $\sin\alpha-\cos\alpha$
Жауабы: $\sin\alpha-\cos\alpha$

Алымда айырма квадрат формуласы бар:
$\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=(\cos\alpha+\sin\alpha)(\cos\alpha-\sin\alpha)$
Сонда бөлшек былай болады:
$\dfrac{(\cos\alpha+\sin\alpha)(\cos\alpha-\sin\alpha)}{\cos\alpha-\sin\alpha}$
Қысқартады:
$\cos\alpha+\sin\alpha$

Ал енді өрнек:
$\cos\alpha+\sin\alpha-\tg\alpha\cdot\cos\alpha$
$\tg\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, сондықтан:
$\tg\alpha\cdot\cos\alpha=\sin\alpha$
Яғни: $\cos\alpha+\sin\alpha-\sin\alpha=\cos\alpha$
Жауабы: $\cos\alpha$

Алымда квадрат формуласы:
$(\cos\alpha+\sin\alpha)^2=\cos^2\alpha+2\cos\alpha\sin\alpha+\sin^2\alpha$
Негізгі тепе-теңдік бойынша: $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$, сондықтан:
$(\cos\alpha+\sin\alpha)^2-1=1+2\cos\alpha\sin\alpha-1=2\cos\alpha\sin\alpha$
Бөлімі: $\ctg\alpha-\sin\alpha\cdot\cos\alpha$
$\ctg\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, сонда:
$\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}-\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\cos\alpha\left(\dfrac{1}{\sin\alpha}-\sin\alpha\right)$

Ортақ бөлгішпен аламыз:
$\cos\alpha\cdot\dfrac{1-\sin^2\alpha}{\sin\alpha}=\cos\alpha\cdot\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}$
Бүкіл бөлшек:
$\dfrac{2\cos\alpha\sin\alpha}{\cos\alpha\cdot\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}}$
Қысқартамыз:
$\dfrac{2\cancel{\cos\alpha}\sin\alpha}{\cancel{\cos\alpha}\cdot\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}}=\dfrac{2\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$
Бұл $\dfrac{2\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=2\tg^2\alpha$
Жауабы: $2\tg^2\alpha$

$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ формуласын қолданамыз.
Алым: $2\sin\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha=2\sin\alpha(1-\cos\alpha)$
Төменгі жағы: $2\sin\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha=2\sin\alpha(1+\cos\alpha)$
Сонда бөлшек:
$\dfrac{2\sin\alpha(1-\cos\alpha)}{2\sin\alpha(1+\cos\alpha)}$

Қысқартады: $\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}$
Бұл өрнек келесі түрге тең:
$\tg^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}$ (жарты бұрыш формуласы)
Жауабы: $\tg^2\dfrac{\alpha}{2}$

Ортақ құрылымды байқаймыз:
$\sin^2\alpha(1+\cos^2\alpha)+\cos^4\alpha$
Себебі бірінші және екінші қосылғыштан $\sin^2\alpha$ ортақ бөлгіш ретінде шығады:
Енді $\cos^4\alpha$ қосамыз:
$\sin^2\alpha(1+\cos^2\alpha)+\cos^4\alpha$

$1+\cos^2\alpha=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1+\cos^2\alpha$
Жалпы өрнекті келесі түрде жазамыз:
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)$
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\cdot1=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$
Жауабы: $1$

Формулалар: $\tg\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, $\ctg\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$
Бірінші мүшені ашамыз:
$\sin^2\alpha+\sin^2\alpha\cdot\ctg\alpha=\sin^2\alpha+\sin^2\alpha\cdot\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$
Қысқарады: $\sin^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha$

Екінші мүшені ашамыз:
$\cos^2\alpha+\cos^2\alpha\cdot\tg\alpha=\cos^2\alpha+\cos^2\alpha\cdot\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
Қысқарады: $\cos^2\alpha+\cos\alpha\sin\alpha$
Барлық қосынды:
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha$
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, қалғаны $2\sin\alpha\cos\alpha$
Жалпы: $1+2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha+1$
Жауабы: $1+\sin2\alpha$ немесе $(\cos \alpha + \sin \alpha)^2$

Айырма квадрат формуласы:
$a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$
Яғни:
$\cos^4 2\alpha - \sin^4 2\alpha = (\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha)(\cos^2 2\alpha + \sin^2 2\alpha)$

$\cos^2 2\alpha + \sin^2 2\alpha = 1$ (негізгі тепе-теңдік)
Ал $\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha = \cos 4\alpha$
Сонымен:
$(\cos 4\alpha)\cdot 1 = \cos 4\alpha$
Жауабы: $\cos 4\alpha$

Айырма квадраттарының айырмасы формуласы:
$(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$
Мұндағы $a=\ctg\alpha$, $b=\tg\alpha$
Сондықтан:
$(\ctg\alpha+\tg\alpha)^2-(\ctg\alpha-\tg\alpha)^2=4\ctg\alpha\cdot\tg\alpha$

Енді $\ctg\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, $\tg\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
Қосындысы: $4\cdot\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\cdot\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=4$
Жауабы: $4$

Тангенс қосынды және айырма формулаларын қолданамыз:
$\tg\left(\dfrac{\pi}{4}\pm\alpha\right)=\dfrac{\tg\dfrac{\pi}{4}\pm\tg\alpha}{1\mp\tg\dfrac{\pi}{4}\cdot\tg\alpha}$
$\tg\dfrac{\pi}{4}=1$, сондықтан:
$\tg\left(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right)=\dfrac{1+\tg\alpha}{1-\tg\alpha}$
$\tg\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)=\dfrac{1-\tg\alpha}{1+\tg\alpha}$

Көбейтіндісі:
$\dfrac{1+\tg\alpha}{1-\tg\alpha}\cdot\dfrac{1-\tg\alpha}{1+\tg\alpha}=\dfrac{(1+\tg\alpha)(1-\tg\alpha)}{(1-\tg\alpha)(1+\tg\alpha)}=1$
Жауабы: $1$

Қос аргумент формуласы: $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$
Сонда: $1+\cos 2\alpha = 1 + (1 - 2\sin^2\alpha) = 2 - 2\sin^2\alpha$
Яғни:
$(2 - 2\sin^2\alpha)\cdot\tg\alpha$

Ортақ көбейткішті шығарамыз:
$2(1 - \sin^2\alpha)\cdot\tg\alpha=2\cos^2\alpha\cdot\tg\alpha$
$\tg\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, сонда:
$2\cos^2\alpha\cdot\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\cos\alpha\sin\alpha$
Бұл: $\sin 2\alpha$
Жауабы: $\sin 2\alpha$

Бірінші мүшені ашамыз:
$(\sin 2\alpha+3\cos 2\alpha)^2 = \sin^2 2\alpha + 6\sin 2\alpha\cos 2\alpha + 9\cos^2 2\alpha$
Екінші мүшені ашамыз:
$(\cos 2\alpha - 3\sin 2\alpha)^2 = \cos^2 2\alpha - 6\sin 2\alpha\cos 2\alpha + 9\sin^2 2\alpha$

Барлығын қосамыз:
$\sin^2 2\alpha + 6\sin 2\alpha\cos 2\alpha + 9\cos^2 2\alpha$
$+\cos^2 2\alpha - 6\sin 2\alpha\cos 2\alpha + 9\sin^2 2\alpha$
Ортақтастырамыз:
$(\sin^2 2\alpha + 9\sin^2 2\alpha) + (\cos^2 2\alpha + 9\cos^2 2\alpha) + (6 - 6)\sin 2\alpha\cos 2\alpha$
$=10\sin^2 2\alpha + 10\cos^2 2\alpha=10(\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha)=10$
Жауабы: $10$

Соңғы екі мүшені топтаймыз:
$\cos^2\alpha-\cos^4\alpha=\cos^2\alpha(1-\cos^2\alpha)$
$1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha$, сондықтан:
$\cos^2\alpha(1-\cos^2\alpha)=\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha$

Енді бүкіл өрнек:
$\sin^4\alpha+\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha$
Ортақ бөлгіш $\sin^2\alpha$ ретінде аламыз:
$\sin^2\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=\sin^2\alpha\cdot1=\sin^2\alpha$
Жауабы: $\sin^2\alpha$

$1 - 2\cos^2\alpha = -\cos 2\alpha$ (қос аргумент формуласы).
Сондықтан бөлшек:
$\dfrac{1 - 2\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cdot\cos\alpha} = \dfrac{-\cos 2\alpha}{\sin\alpha\cdot\cos\alpha}$

Ал бүкіл өрнек:
$\tg\alpha - \dfrac{-\cos 2\alpha}{\sin\alpha\cdot\cos\alpha} = \tg\alpha + \dfrac{\cos 2\alpha}{\sin\alpha\cdot\cos\alpha}$
$\tg\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
Барлығы бір бөлімге келтірсек:
$\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \dfrac{\cos 2\alpha}{\sin\alpha\cdot\cos\alpha} = \dfrac{\sin^2\alpha + \cos 2\alpha}{\sin\alpha\cdot\cos\alpha}$
Бірақ бұл өрнекті толық ықшамдау үшін $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$ формуласына сүйенсек:
$\sin^2\alpha + (1 - 2\sin^2\alpha) = 1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$
Сондықтан бүкіл өрнек:
$\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cdot\cos\alpha} = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \ctg\alpha$
Жауабы: $\ctg\alpha$

Жарты бұрыш формуласы:
$\cos\alpha = 2\cos^2\dfrac{\alpha}{2} - 1$
Осы формуланы қайта жазсақ:
$2\cos^2\dfrac{\alpha}{2} = \cos\alpha + 1$

Сонда өрнек былай болады:
$2\cos^2\dfrac{\alpha}{2} - \cos\alpha = (\cos\alpha + 1) - \cos\alpha = 1$
Жауабы: $1$

Қосу формулалары:
$\sin A + \sin B = 2\sin\dfrac{A+B}{2}\cdot\cos\dfrac{A-B}{2}$
$\cos A + \cos B = 2\cos\dfrac{A+B}{2}\cdot\cos\dfrac{A-B}{2}$
Жоғарғы жағы:
$\sin 2\alpha + \sin 10\alpha = 2\sin 6\alpha\cdot\cos 4\alpha$

Төменгі жағы:
$\cos 2\alpha + \cos 10\alpha = 2\cos 6\alpha\cdot\cos 4\alpha$
Сонда бөлшек:
$\dfrac{2\sin 6\alpha\cdot\cos 4\alpha}{2\cos 6\alpha\cdot\cos 4\alpha}$
$2$ мен $\cos 4\alpha$ қысқарады:
$\dfrac{\sin 6\alpha}{\cos 6\alpha} = \tg 6\alpha$
Ал толық өрнек: $\tg 6\alpha \cdot \ctg 6\alpha = 1$
Жауабы: $1$

Алымда:
$1+\tg 2\alpha+\tg^2 2\alpha=(\tg 2\alpha+1)^2$
Себебі: $a+1+a^2=(a+1)^2 - 2a + a = (a+1)^2$
Дәлелдеу арқылы көруге болады:
$(\tg 2\alpha+1)^2 = \tg^2 2\alpha + 2\tg 2\alpha + 1$
Ал біздің өрнекте $1 + \tg 2\alpha + \tg^2 2\alpha$
Сондықтан формуламен ыңғайлы емес, қарапайым ықшамдаймыз:

Екі жақты бір функцияға ауыстырайық:
$\tg 2\alpha = \dfrac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}$, $\ctg 2\alpha = \dfrac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}$
Алым: $1+\dfrac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}+\dfrac{\sin^2 2\alpha}{\cos^2 2\alpha}=\dfrac{\cos^2 2\alpha+\sin 2\alpha\cos 2\alpha+\sin^2 2\alpha}{\cos^2 2\alpha}$
Төменгі жағы да осылайша $\dfrac{\sin^2 2\alpha+\sin 2\alpha\cos 2\alpha+\cos^2 2\alpha}{\sin^2 2\alpha}$
Алым мен бөлімдегі ортақтар:
Жоғары: $\cos^2 2\alpha+\sin^2 2\alpha+\sin 2\alpha\cos 2\alpha = 1 + \sin 2\alpha\cos 2\alpha$
Төмен: $\sin^2 2\alpha+\cos^2 2\alpha+\sin 2\alpha\cos 2\alpha = 1 + \sin 2\alpha\cos 2\alpha$
Яғни: $\dfrac{1+\sin 2\alpha\cos 2\alpha}{1+\sin 2\alpha\cos 2\alpha}=1$
Жауабы: $1$

Ыңғайлы болу үшін $x=\tg2\alpha$ деп аламыз.
Онда $\ctg2\alpha=\dfrac{1}{x}$, $\ctg^22\alpha=\dfrac{1}{x^2}.$
Бастапқы бөлшек:
$\dfrac{1+x+x^2}{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}$
Алымын да, бөлімін де $x^2$-ге көбейтеміз:

$\dfrac{(1+x+x^2)\cdot x^2}{x^2+x+1}$
$1+x+x^2=x^2+x+1$ болғандықтан, қысқарады:
$\dfrac{x^2(x^2+x+1)}{x^2+x+1}=x^2$
$x=\tg2\alpha$, сондықтан
Жауабы: $\tg^2 2\alpha$

Жарты бұрыш формуласы:
$\tg^2\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}$
Енді өрнектегі бірінші бөлшекпен көбейтеміз:
$\dfrac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}\cdot\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}=1$
Демек, толық өрнек былай болады:
$1 - \cos^2\alpha$

$1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$ (негізгі тепе-теңдік)
Жауабы: $\sin^2\alpha$

Ыңғайлы болу үшін $x=\tg 2\alpha$ деп аламыз.
Онда: $\ctg 2\alpha = \dfrac{1}{x}$, $\ctg^2 2\alpha = \dfrac{1}{x^2}$
Енді өрнекті жазайық:
$\dfrac{1+x^4}{x^2+\dfrac{1}{x^2}}$
Ортақ бөліммен жазсақ: $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^4+1}{x^2}$

Бөлшек былай болады:
$\dfrac{1+x^4}{\dfrac{x^4+1}{x^2}} = (1+x^4)\cdot\dfrac{x^2}{x^4+1}=x^2$
Енді толық өрнекке қайта ораламыз:
$x^2 - \dfrac{1}{\cos^2 2\alpha}$
$x^2 = \tg^2 2\alpha = \dfrac{\sin^2 2\alpha}{\cos^2 2\alpha}$
Ендеше:
$\dfrac{\sin^2 2\alpha - 1}{\cos^2 2\alpha} = \dfrac{-\cos^2 2\alpha}{\cos^2 2\alpha} = -1$
Жауабы: $-1$

Қосу формулаларын қолданамыз:
$\sin A + \sin B = 2\sin\dfrac{A+B}{2}\cdot\cos\dfrac{A-B}{2}$
$\cos A + \cos B = 2\cos\dfrac{A+B}{2}\cdot\cos\dfrac{A-B}{2}$
Алым: $\sin\alpha + \sin3\alpha = 2\sin2\alpha\cdot\cos\alpha$

Бөлім: $\cos\alpha + \cos3\alpha = 2\cos2\alpha\cdot\cos\alpha$
Сонда бөлшек:
$\dfrac{2\sin2\alpha\cdot\cos\alpha}{2\cos2\alpha\cdot\cos\alpha}$
$2$ және $\cos\alpha$ қысқарады:
$\dfrac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} = \tg2\alpha$
Жауабы: $\tg2\alpha$

Алдымен бірінші бөлшекті ықшамдаймыз:
$\ctg^22\alpha-1=\dfrac{\cos^22\alpha}{\sin^22\alpha}-1=\dfrac{\cos^22\alpha-\sin^22\alpha}{\sin^22\alpha}=\dfrac{\cos4\alpha}{\sin^22\alpha}.$
$2\ctg2\alpha=2\dfrac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}.$
Сондықтан
$\dfrac{\ctg^22\alpha-1}{2\ctg2\alpha}=\dfrac{\cos4\alpha}{\sin^22\alpha}\cdot\dfrac{\sin2\alpha}{2\cos2\alpha} =\dfrac{\cos4\alpha}{2\cos2\alpha\sin2\alpha} =\dfrac{\cos4\alpha}{\sin4\alpha} =\ctg4\alpha.$

Енді бүкіл өрнек:
$\ctg4\alpha-\cos8\alpha\cdot\ctg4\alpha=\ctg4\alpha\,(1-\cos8\alpha).$
$1-\cos8\alpha=2\sin^24\alpha,$ сонда
$\ctg4\alpha\cdot2\sin^24\alpha=2\dfrac{\cos4\alpha}{\sin4\alpha}\cdot\sin^24\alpha =2\cos4\alpha\sin4\alpha =\sin8\alpha.$
Жауабы: $\sin8\alpha$

Алымды топтаймыз:
$\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ болғандықтан:
$\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha$
Енді алым былай болады:
$\sin^2\alpha - \cos^2\alpha + \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$

Сонымен бөлшек мынаған тең:
$\dfrac{\sin^2\alpha}{2(1 - \cos\alpha)}$
$1 - \cos\alpha = 2\sin^2\dfrac{\alpha}{2},$
$\sin\alpha = 2\sin\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2} \Rightarrow \sin^2\alpha = 4\sin^2\dfrac{\alpha}{2}\cos^2\dfrac{\alpha}{2}$
Орнына қоямыз:
$\dfrac{4\sin^2\dfrac{\alpha}{2}\cos^2\dfrac{\alpha}{2}}{2\cdot2\sin^2\dfrac{\alpha}{2}}=\cos^2\dfrac{\alpha}{2}$
Жауабы: $\cos^2\dfrac{\alpha}{2}$

Жарты бұрыш формулаларын қолданамыз:
$1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2\alpha,$
$1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha,$
$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
Алым: $2\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)$

Бөлім: $2\cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)$
Бүкіл өрнек:
$\dfrac{2\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)}{2\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)}$
$2$ және $(\sin\alpha + \cos\alpha)$ қысқарады:
$\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tg\alpha$
Жауабы: $\tg\alpha$

$ \sin 4\alpha = 2\sin 2\alpha\cos 2\alpha $
Сондықтан $\dfrac{2}{\sin 4\alpha} = \dfrac{2}{2\sin 2\alpha\cos 2\alpha} = \dfrac{1}{\sin 2\alpha\cos 2\alpha}$
Ал $\ctg 2\alpha = \dfrac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}$

Ортақ бөлімге келтіреміз:
$\dfrac{1}{\sin 2\alpha\cos 2\alpha} - \dfrac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \dfrac{1 - \cos^2 2\alpha}{\sin 2\alpha\cos 2\alpha}$
$1 - \cos^2 2\alpha = \sin^2 2\alpha$, сонда:
$\dfrac{\sin^2 2\alpha}{\sin 2\alpha\cos 2\alpha} = \dfrac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \tg 2\alpha$
Жауабы: $\tg 2\alpha$

Қос формула: $1 + \tg^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$, сондықтан:
$\dfrac{\tg\alpha}{1+\tg^2\alpha} = \tg\alpha \cdot \cos^2\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \cos^2\alpha = \sin\alpha\cos\alpha$
Енді екінші қосылғыш:
$1 + \ctg^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}$, сондықтан:
$\dfrac{\ctg\alpha}{1+\ctg^2\alpha} = \ctg\alpha \cdot \sin^2\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \sin^2\alpha = \sin\alpha\cos\alpha$

Екі қосылғыш та $\sin\alpha\cos\alpha$ болғандықтан:
$\sin\alpha\cos\alpha + \sin\alpha\cos\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
Бұл — синустың қосаргумент формуласы:
$2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$
Жауабы: $\sin 2\alpha$

Алдымен екі мүшені де стандарт формулалармен түрлендіреміз:
Бірінші мүшені жазамыз:
$4\sin\alpha\cdot\cos^3\alpha = 4\cos\alpha\cdot\sin\alpha\cdot\cos^2\alpha$
Екінші мүше: $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, сондықтан:
$2\sin 2\alpha\cdot\sin^2\alpha = 4\sin^3\alpha\cos\alpha$

Сонымен өрнек былай жазылады:
$4\cos\alpha\sin\alpha\cos^2\alpha - 4\sin^3\alpha\cos\alpha$
Ортақ көбейткішті шығарамыз:
$4\cos\alpha\sin\alpha(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)$
Ал $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos 2\alpha$
Нәтиже: $4\cos\alpha\sin\alpha\cdot\cos 2\alpha$
Ал $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$, сондықтан:
$4\cos\alpha\sin\alpha\cdot\cos 2\alpha = 2\sin 2\alpha\cdot\cos 2\alpha = \sin 4\alpha$
Жауабы: $\sin 4\alpha$

Алдымен формулаларды пайдаланайық:
$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha,$
сондықтан $\dfrac{\sin 2\alpha}{\cos\alpha} = 2\sin\alpha$
Енді $\dfrac{\cos 2\alpha}{\sin\alpha}$ — мұнда $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$
Сондықтан екінші мүше:
$\dfrac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha}$
Толық өрнек:
$2\sin\alpha + \dfrac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha}$

Енді ортақ бөлімге келтірейік:
$2\sin\alpha = \dfrac{2\sin^2\alpha}{\sin\alpha}$
Сонда:
$\dfrac{2\sin^2\alpha + \cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha} = \dfrac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha}$
Ал $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
Демек: $\dfrac{1}{\sin\alpha} = \csc\alpha$ (егер кері триг. функциялармен жазсақ), бірақ:
Жауабы: $\dfrac{1}{\sin\alpha}$

Екі жақшаны $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$ формуласы бойынша ашамыз.
Белгілейміз: $A=1+\tg\alpha,\;B=\dfrac{1}{\cos\alpha}.$
Сонда
$\bigl(1+\dfrac{1}{\cos\alpha}+\tg\alpha\bigr)\bigl(1-\dfrac{1}{\cos\alpha}+\tg\alpha\bigr)=A^2-B^2.$
$A^2=(1+\tg\alpha)^2=1+2\tg\alpha+\tg^2\alpha,$
$B^2=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}.$

Айырмасын есептейміз:
$1+2\tg\alpha+\tg^2\alpha-\dfrac{1}{\cos^2\alpha}.$
$\tg\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\;\tg^2\alpha=\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$ екені белгілі, орнына қоямыз:
$1+\dfrac{2\sin\alpha}{\cos\alpha}+\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}-\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$
= $1+\dfrac{2\sin\alpha}{\cos\alpha}+\dfrac{\sin^2\alpha-1}{\cos^2\alpha}.$
$\sin^2\alpha-1=-\cos^2\alpha$, сондықтан өрнек
$1+\dfrac{2\sin\alpha}{\cos\alpha}-1=\dfrac{2\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\tg\alpha.$

Енді бастапқыда тұрған $\cos\alpha$ көбейткішін есепке аламыз:
$\cos\alpha\cdot2\tg\alpha=\cos\alpha\cdot2\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\sin\alpha.$
Жауабы: $2\sin\alpha$

$\tg\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right) = -\ctg\alpha$, сондықтан
$\tg^2\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right) = \ctg^2\alpha = \dfrac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$
Орнына қоямыз:
$\left(1 + \dfrac{1}{\ctg^2\alpha}\right) = 1 + \dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$

Ортақ бөлімге келтіреміз:
$\dfrac{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$
Енді бүкіл өрнек:
$\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\cdot\sin^2\alpha = \dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \tg^2\alpha$
Жауабы: $\tg^2\alpha$

Бірінші өрнек:
$\left(\sin\alpha + \dfrac{1}{\sin\alpha}\right)^2 = \sin^2\alpha + 2 + \dfrac{1}{\sin^2\alpha}$

Екінші өрнек:
$\left(\cos\alpha + \dfrac{1}{\cos\alpha}\right)^2 = \cos^2\alpha + 2 + \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$

Барлығын қосамыз:
$\sin^2\alpha + \dfrac{1}{\sin^2\alpha} + \cos^2\alpha + \dfrac{1}{\cos^2\alpha} + 4$

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
Ал $\tg^2\alpha = \dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$, $\ctg^2\alpha = \dfrac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$
Сонымен соңғы өрнек:
$1 + \dfrac{1}{\sin^2\alpha} + \dfrac{1}{\cos^2\alpha} + 4 - \left(\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \dfrac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\right)$

Бұл қосындыда ортақ бөліктерді топтаймыз:
$\left(\dfrac{1}{\sin^2\alpha} - \dfrac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\right) + \left(\dfrac{1}{\cos^2\alpha} - \dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\right) + 1 + 4$
Бұл = $\dfrac{1 - \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} + \dfrac{1 - \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + 5$
Бірақ $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$, $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$, сондықтан:
$\dfrac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} + \dfrac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} + 5 = 1 + 1 + 5 = 7$
Жауабы: $7$

Бұл өрнек синустар мен косинустар көбейтіндісінің айырмасы түрінде берілген:
$\sin A \cdot \sin B - \cos A \cdot \cos B = -\cos(A + B)$ формуласын еске түсіреміз.
Мұндағы $A = \dfrac{\pi}{4} - \alpha$, $B = \dfrac{\pi}{4} + \alpha$
Олай болса:
$\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right) - \cos\left(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right)\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right) = -\cos\left[\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right) + \left(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right)\right]$

Ықшамдаймыз:
$\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right) + \left(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right) = \dfrac{\pi}{2}$
Сонда:
$-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = -0 = 0$
Жауабы: $0$

Біріншіден, $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$, $\sin^2\beta = 1 - \cos^2\beta$
Сондықтан:
$\sin^2\alpha\sin^2\beta = (1 - \cos^2\alpha)(1 - \cos^2\beta)$
Жақшаны ашамыз:
$= 1 - \cos^2\alpha - \cos^2\beta + \cos^2\alpha\cos^2\beta$

Ал енді $(1 - \cos\alpha\cos\beta)^2$ ашамыз:
$= 1 - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\alpha\cos^2\beta$
Толық өрнек:
$1 - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\alpha\cos^2\beta - (1 - \cos^2\alpha - \cos^2\beta + \cos^2\alpha\cos^2\beta)$
Жақшаны ашып, таңбаларды өзгертеміз:
$= 1 - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\alpha\cos^2\beta - 1 + \cos^2\alpha + \cos^2\beta - \cos^2\alpha\cos^2\beta$
Қысқарғаннан кейін:
$-2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\alpha + \cos^2\beta$
Бұл өрнек $\left(\cos\alpha - \cos\beta\right)^2$ формуласына тең
Түбірін аламыз:
$\sqrt{(\cos\alpha - \cos\beta)^2} = |\cos\alpha - \cos\beta|$
Жауабы: $|\cos\alpha - \cos\beta|$

Берілген өрнек: $\sin^{-1}\alpha+\tg^{-1}\alpha$
Мұндағы $-1$ — бұл арксинус немесе арктангенс емес, дәреже көрсеткіші (кері шама):
$\sin^{-1}\alpha = \dfrac{1}{\sin\alpha}$, $\tg^{-1}\alpha = \dfrac{1}{\tg\alpha}$

Сондықтан өрнек былай болады:
$\dfrac{1}{\sin\alpha}+\dfrac{1}{\tg\alpha}$
Енді $\tg\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, сондықтан:
$\dfrac{1}{\tg\alpha} = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

Сонда өрнек мынадайға айналады:
$\dfrac{1}{\sin\alpha} + \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$
Бөлімдері бірдей, сондықтан қосамыз:
$\dfrac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}$

Жауабы: $\dfrac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}$ немесе $\ctg\dfrac{\alpha}{2}$

Екі квадрат қосындысын ашамыз:
$(\sin\alpha+\sin\beta)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta$
$(\cos\alpha+\cos\beta)^2 = \cos^2\alpha + 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta$

Барлығын қосамыз:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha + \sin^2\beta + \cos^2\beta + 2(\sin\alpha\sin\beta + \cos\alpha\cos\beta)$
$\Rightarrow 1 + 1 + 2(\cos(\alpha-\beta)) = 2 + 2\cos(\alpha-\beta)$

Бұны қосарлы бұрыш формуласы арқылы жазамыз:
$2 + 2\cos(\alpha-\beta) = 4\cos^2\dfrac{\alpha-\beta}{2}$
Себебі $\cos(\alpha-\beta) = 2\cos^2\dfrac{\alpha-\beta}{2} - 1$
Онда $2 + 2\left(2\cos^2\dfrac{\alpha-\beta}{2} - 1\right)$
$= 2 + 4\cos^2\dfrac{\alpha-\beta}{2} - 2 = 4\cos^2\dfrac{\alpha-\beta}{2}$

Жауабы: $4\cos^2\dfrac{\alpha-\beta}{2}$

Екінші бөлшекті түрлендіреміз:
$1-\tg^2\alpha=\dfrac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\dfrac{\cos2\alpha}{\cos^2\alpha}.$
Сонда
$\dfrac{\sin\alpha+\cos\alpha}{1-\tg^2\alpha}=\dfrac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\dfrac{\cos2\alpha}{\cos^2\alpha}}=\dfrac{(\sin\alpha+\cos\alpha)\cos^2\alpha}{\cos2\alpha}.$
$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=(\cos\alpha-\sin\alpha)(\cos\alpha+\sin\alpha).$
Жоғарғы және төменгі көбейткіш $(\sin\alpha+\cos\alpha)$ қысқарады:
$\dfrac{(\sin\alpha+\cos\alpha)\cos^2\alpha}{(\cos\alpha-\sin\alpha)(\cos\alpha+\sin\alpha)}=\dfrac{\cos^2\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}.$

Бастапқы өрнек енді:
$\dfrac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}+\dfrac{\cos^2\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}-\sin\alpha.$
$\cos\alpha-\sin\alpha=-(\sin\alpha-\cos\alpha)$, сондықтан
$\dfrac{\cos^2\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}=-\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}.$
Ортақ бөлімге келтіреміз:
$\dfrac{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}-\sin\alpha.$
$\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=(\sin\alpha-\cos\alpha)(\sin\alpha+\cos\alpha)$, қысқартады:
$\sin\alpha+\cos\alpha-\sin\alpha=\cos\alpha.$
Жауабы: $\cos\alpha$

$\tg2\alpha=\dfrac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}$ формуласын қолданамыз.
Белгілеу енгізейік: $t=\tg\alpha.$
Сонда алымы:
$\tg2\alpha\cdot\tg\alpha=\dfrac{2t}{1-t^2}\cdot t=\dfrac{2t^2}{1-t^2}.$
Бөлімі:
$\tg2\alpha-\tg\alpha=\dfrac{2t}{1-t^2}-t.$
Ортақ бөлімге келтіреміз:
$\dfrac{2t - t(1-t^2)}{1-t^2}.$

Жақшаны ашамыз: $2t-t+t^3=t+t^3=t(1+t^2).$
Демек бөлімі $\dfrac{t(1+t^2)}{1-t^2}.$
Енді бүкіл өрнекті жазайық:
$\dfrac{\dfrac{2t^2}{1-t^2}}{\dfrac{t(1+t^2)}{1-t^2}}=\dfrac{2t^2}{1-t^2}\cdot\dfrac{1-t^2}{t(1+t^2)}=\dfrac{2t}{1+t^2}.$
$t=\tg\alpha$ болғандықтан, $\dfrac{2\tg\alpha}{1+\tg^2\alpha}=\sin2\alpha.$
Жауабы: $\sin2\alpha$

Тригонометриялық түрлендірулер жасаймыз:
$\sin(0.5\pi+3\alpha)=\cos3\alpha$, өйткені $\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}+x\bigr)=\cos x.$
$\cos(-5\alpha)=\cos5\alpha$, себебі $\cos$ жұп функция.
Сонда алым: $\cos3\alpha-\cos5\alpha.$

Формула $\cos A-\cos B=-2\sin\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}$ қолданамыз:
$\cos3\alpha-\cos5\alpha=-2\sin4\alpha\sin(-\alpha)=2\sin4\alpha\sin\alpha.$
Толық өрнек:
$\dfrac{2\sin4\alpha\sin\alpha}{4\sin\alpha\cos2\alpha}=\dfrac{2\sin4\alpha}{4\cos2\alpha}=\dfrac{\sin4\alpha}{2\cos2\alpha}.$
$\sin4\alpha=2\sin2\alpha\cos2\alpha$, орнына қойсақ:
$\dfrac{2\sin2\alpha\cos2\alpha}{2\cos2\alpha}=\sin2\alpha.$
Жауабы: $\sin2\alpha$

Алымды түрлендірейік:
$\sin^2x-\cos^2x=-\cos2x$, мұндағы $x=\beta-45^\circ.$
Сонда:
$\sin^2(\beta-45^\circ)-\cos^2(\beta-45^\circ)=-\cos2(\beta-45^\circ)$
Яғни, алым $-\cos(2\beta-90^\circ)$

$\cos(2\beta-90^\circ)=\sin2\beta$, себебі $\cos(x-90^\circ)=\sin x.$
Демек алым $-\sin2\beta.$
Толық өрнек: $\dfrac{-\sin2\beta}{\sin2\beta}=-1$
Жауабы: $-1$

$\cos(6\alpha-\pi)=-\cos6\alpha.$
Өрнек $\dfrac{\sin6\alpha}{\sin2\alpha}-\dfrac{\cos6\alpha}{\cos2\alpha}$ түрінде.
$x=2\alpha$ деп белгілейміз.
Сонда $\dfrac{\sin3x}{\sin x}$ және $\dfrac{\cos3x}{\cos x}$ қатынастарына көшеміз.
Қажетті формулалар:
$\sin3x=3\sin x-4\sin^3x,$
$\cos3x=4\cos^3x-3\cos x.$

$\dfrac{\sin3x}{\sin x}=3-4\sin^2x.$
$\dfrac{\cos3x}{\cos x}=4\cos^2x-3.$
Демек өрнек
$3-4\sin^2x-(4\cos^2x-3)=6-4(\sin^2x+\cos^2x).$
$\sin^2x+\cos^2x=1$, сондықтан $6-4=2.$
Жауабы: $2$

$\tg(\alpha+\beta)=\dfrac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}$ формуласын пайдаланамыз.
Алымды түрлендірейік:
$\tg(\alpha+\beta)-\tg\alpha-\tg\beta=\dfrac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}-\tg\alpha-\tg\beta$
Ортақ бөлімге келтіреміз:
$\dfrac{\tg\alpha+\tg\beta - (\tg\alpha+\tg\beta)(1-\tg\alpha\tg\beta)}{1-\tg\alpha\tg\beta}$
Жақшаны ашамыз:
$(\tg\alpha+\tg\beta)-( \tg\alpha+\tg\beta - \tg\alpha\tg\beta(\tg\alpha+\tg\beta))$
Қысқартады:
Қалады: $\dfrac{\tg\alpha\tg\beta(\tg\alpha+\tg\beta)}{1-\tg\alpha\tg\beta}$

Толық өрнекке қайта оралайық:
$\dfrac{\tg\alpha\tg\beta(\tg\alpha+\tg\beta)}{(1-\tg\alpha\tg\beta)\cdot\tg\alpha\cdot\tg(\alpha+\beta)}\cdot\ctg\beta$
$\tg(\alpha+\beta)=\dfrac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}$ екенін еске түсіреміз.
Сонда төменгі бөлігін жазсақ:
$\tg\alpha\cdot\dfrac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}$
Толық бөлшек мынаған айналады:
$\dfrac{\tg\alpha\tg\beta(\tg\alpha+\tg\beta)}{\tg\alpha\cdot\dfrac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}\cdot(1-\tg\alpha\tg\beta)}\cdot\ctg\beta$
Барлығы қысқарып, қалады:
$\tg\beta\cdot\ctg\beta=1$
Жауабы: $1$

Формула: $\tg\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)=\dfrac{1+\tg x}{1-\tg x}$, мұнда $x=\dfrac{\alpha}{2}.$
Демек: $\tg\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{1+\tg\dfrac{\alpha}{2}}{1-\tg\dfrac{\alpha}{2}}$
Ал енді екінші бөлшекті түрлендіреміз:
$\dfrac{1-\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)}{\cos\alpha(1+\sin\alpha)}=\dfrac{1-\sin^2\alpha}{\cos\alpha(1+\sin\alpha)}$
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\;\Rightarrow\;1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha$
Сонымен: $\dfrac{\cos^2\alpha}{\cos\alpha(1+\sin\alpha)}=\dfrac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha}$

Енді өрнек былай болады:
$\tg\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{2}\right)\cdot\dfrac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha}$
Тағы бір пайдалы формула: $\tg\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{1+\tg\dfrac{\alpha}{2}}{1-\tg\dfrac{\alpha}{2}}$
Сонымен бірге келесі түрлендіруді қолдануға болады:
$\dfrac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha}=\tg\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\alpha}{2}\right)$
Демек:
$\tg\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{2}\right)\cdot\tg\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{\tg^2\dfrac{\pi}{4}-\tg^2\dfrac{\alpha}{2}}{1-\tg^2\dfrac{\pi}{4}\cdot\tg^2\dfrac{\alpha}{2}}$
Бірақ $\tg A \cdot \tg B = 1$ болатын жағдайда $A + B = \dfrac{\pi}{2}$ болса.
Бұл жерде дәл сондай:
Жауабы: $1$

Екінші мүшені ықшамдаймыз:
$\dfrac{\sin4\alpha}{\tg2\alpha}=\dfrac{\sin4\alpha}{\dfrac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}}=\dfrac{\sin4\alpha\cdot\cos2\alpha}{\sin2\alpha}$
Енді $\sin4\alpha=2\sin2\alpha\cos2\alpha$ екенін қолданамыз:
$\dfrac{2\sin2\alpha\cos2\alpha\cdot\cos2\alpha}{\sin2\alpha}=2\cos^2 2\alpha$
Енді өрнек былай өзгереді:
$\cos4\alpha - 2\cos^2 2\alpha - \cos2\alpha + 2\cos^2\alpha$

$\cos4\alpha = 2\cos^2 2\alpha -1$, сондықтан орнына қоямыз:
$(2\cos^2 2\alpha - 1) - 2\cos^2 2\alpha - \cos2\alpha + 2\cos^2\alpha$
Қысқарады: $-1 - \cos2\alpha + 2\cos^2\alpha$
Енді $\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$, оны да қоямыз:
$-1 - (2\cos^2\alpha - 1) + 2\cos^2\alpha$
Ашайық: $-1 - 2\cos^2\alpha + 1 + 2\cos^2\alpha = 0$
Жауабы: $0$

Алдымен бірінші бөлшекті ықшамдайық:
$1-2\sin^2\alpha=\cos2\alpha$, ал $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha.$
Сонда
$\dfrac{1-2\sin^2\alpha}{1+\sin2\alpha}=\dfrac{\cos2\alpha}{1+2\sin\alpha\cos\alpha}.$
$1+2\sin\alpha\cos\alpha=(\cos\alpha+\sin\alpha)^2,$
$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=(\cos\alpha+\sin\alpha)(\cos\alpha-\sin\alpha).$
Сондықтан
$\dfrac{\cos2\alpha}{1+\sin2\alpha}=\dfrac{(\cos\alpha+\sin\alpha)(\cos\alpha-\sin\alpha)}{(\cos\alpha+\sin\alpha)^2} =\dfrac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha+\sin\alpha}.$

Енді екінші бөлшек:
$\tg\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, сондықтан
$\dfrac{1-\tg\alpha}{1+\tg\alpha} =\dfrac{\dfrac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\dfrac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha}} =\dfrac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha+\sin\alpha}.$

Екі бөлшек те бірдей:
$\dfrac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha+\sin\alpha}-\dfrac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha+\sin\alpha}=0.$

Жауабы: $0$

Алымдағы өрнекті түрлендіреміз:
$1 - \sin^4\alpha - \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 - \sin^4\alpha - \cos^4\alpha$
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, сондықтан $1^2 - \sin^4\alpha - \cos^4\alpha = 1 - \sin^4\alpha - \cos^4\alpha$
Бірақ $1 - \sin^4\alpha - \cos^4\alpha = 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$ екенін есте сақтайық:
Шынында:
$1 - \sin^4\alpha - \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 - (\sin^4\alpha + \cos^4\alpha) = 1^2 - (\sin^4\alpha + \cos^4\alpha)$
Бірақ $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$, сонда:
$1 - (1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha) = 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$

Демек өрнек мынаған айналады:
$\dfrac{2\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{\cos^4\alpha}-2\tg^2\alpha$
Бөлшекті ықшамдаймыз:
$\dfrac{2\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=2\tg^2\alpha$
Енді толық өрнек: $2\tg^2\alpha - 2\tg^2\alpha = 0$
Жауабы: $0$

Алым
$\sin(45^\circ-\alpha)=\sin45^\circ\cos\alpha-\cos45^\circ\sin\alpha$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha.$
$2\sin(45^\circ-\alpha)=\sqrt{2}\cos\alpha-\sqrt{2}\sin\alpha.$
Сондықтан алым:
$\sqrt{2}\cos\alpha-\bigl(\sqrt{2}\cos\alpha-\sqrt{2}\sin\alpha\bigr)=\sqrt{2}\sin\alpha$.

Бөлім
$\sin(60^\circ+\alpha)=\sin60^\circ\cos\alpha+\cos60^\circ\sin\alpha$
$=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha+\dfrac12\sin\alpha.$
$2\sin(60^\circ+\alpha)=\sqrt{3}\cos\alpha+\sin\alpha.$
Бөлім:
$\bigl(\sqrt{3}\cos\alpha+\sin\alpha\bigr)-\sqrt{3}\cos\alpha=\sin\alpha.$

Толық өрнек:
$\dfrac{\sqrt{2}\sin\alpha}{\sin\alpha}=\sqrt{2}.$
Жауабы: $\sqrt{2}$

Алымды түрлендіреміз:
$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$, сонда:
$1-\cos\alpha+\cos2\alpha=1-\cos\alpha+2\cos^2\alpha-1=2\cos^2\alpha-\cos\alpha$

Енді бөлім: $\sin\alpha-\sin2\alpha$
$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$, сонда:
$\sin\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha = \sin\alpha(1 - 2\cos\alpha)$
Алым: $2\cos^2\alpha - \cos\alpha = \cos\alpha(2\cos\alpha - 1)$
Сонымен бүкіл өрнек:
$\dfrac{\cos\alpha(2\cos\alpha - 1)}{\sin\alpha(1 - 2\cos\alpha)} = -\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = -\ctg\alpha$
Жауабы: $-\ctg\alpha$

Алым
$\cos\alpha-\cos5\alpha=-2\sin\dfrac{\alpha+5\alpha}{2}\sin\dfrac{\alpha-5\alpha}{2}=2\sin3\alpha\sin2\alpha.$
Сондықтан алым:
$2\sin3\alpha\sin2\alpha-2\sin3\alpha=2\sin3\alpha(\sin2\alpha-1)\,.$

Бөлім
$\sin5\alpha-\sin\alpha=2\cos\dfrac{5\alpha+\alpha}{2}\sin\dfrac{5\alpha-\alpha}{2}=2\cos3\alpha\sin2\alpha.$
Демек бөлім:
$2\cos3\alpha\sin2\alpha-2\cos3\alpha=2\cos3\alpha(\sin2\alpha-1)\,.$

Бүтін өрнек
$\dfrac{2\sin3\alpha(\sin2\alpha-1)}{2\cos3\alpha(\sin2\alpha-1)}=\dfrac{\sin3\alpha}{\cos3\alpha}=\tg3\alpha.$

Жауабы: $\tg3\alpha$

Екі функцияның көбейтіндісіне формула қолданамыз:
$\cos A\sin B=\dfrac{\sin(A+B)+\sin(B-A)}{2},$
мұнда $A=\dfrac{\pi}{3}-2\alpha$, $B=\dfrac{\pi}{6}-2\alpha.$

$A+B=\dfrac{\pi}{2}-4\alpha\;\Rightarrow\;\sin(A+B)=\cos4\alpha.$
$B-A=\left(\dfrac{\pi}{6}-2\alpha\right)-\left(\dfrac{\pi}{3}-2\alpha\right)=-\dfrac{\pi}{6},$
$\sin(B-A)=-\sin\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac12.$

Сондықтан
$\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-2\alpha\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{6}-2\alpha\right)=\dfrac{\cos4\alpha-\dfrac12}{2} =\dfrac12\cos4\alpha-\dfrac14$.

Толық өрнек:
$\dfrac12\cos4\alpha-\dfrac14+\sin^22\alpha.$

$\cos4\alpha=1-2\sin^22\alpha$ формуласы бойынша:
$\dfrac12(1-2\sin^22\alpha)-\dfrac14+\sin^22\alpha =\dfrac12-\sin^22\alpha-\dfrac14+\sin^22\alpha =\dfrac14.$

Жауабы: $\dfrac14$