6.1.1. Түзу бойымен бірқалыпты қозғалыс

Бастапқы жылдамдығы $x$ км/сағ болсын.
Кідірген уақыты: 6 минут = $0.1$ сағат.
Жылдамдықты $x+4$ км/сағ етіп арттырып, сол кешігуді жойды.
Уақыттың айырмасы сол кешігуге тең:
$\frac{36}{x}-\frac{36}{x+4}=0.1$
Екі бөлшектің айырымын ортақ бөлімге келтіреміз:
$\frac{36(x+4)-36x}{x(x+4)}=0.1$
Жоғарғы бөлігін ашамыз:
$\frac{36x+144-36x}{x(x+4)}=0.1\;\Rightarrow\;\frac{144}{x(x+4)}=0.1$

Енді теңдеуді шешеміз:
$\frac{144}{x(x+4)}=0.1\;\Rightarrow\;144=0.1x(x+4)$
Ондық бөлшекті жою үшін екі жағын 10-ға көбейтеміз:
$1440=x(x+4)\;\Rightarrow\;x^2+4x-1440=0$
Квадрат теңдеуді шешеміз:
$D=4^2+4\cdot1440=16+5760=5776$
$\sqrt{5776}=76$
$x=\frac{-4\pm76}{2}$
$x_1=36$ (қанағаттандырады), $x_2=-40$ (теріс, қабылданбайды).
Жауабы: $36$ км/сағ

450 км — бұл бүкіл жолдың 75%–ы.
Демек, толық жолдың ұзындығы: $\frac{450}{0.75}=600$ км.
Қалған жол: $600-450=150$ км.
Алғашқы жылдамдығы $x$ км/сағ болсын.
Пойыз жарты сағат (яғни $0.5$ сағ) тоқтады,
кейін жылдамдығын $x+15$ км/сағ етіп жалғастырып, кешікпей келді.
Демек, $x$ жылдамдықпен жүрсе 150 км жолды қандай уақытта жүрер еді:
$\frac{150}{x}$.
Ал нақты жүрген уақыты: $\frac{150}{x+15}+0.5$.
Осы екеуі тең болады:
$\frac{150}{x}=\frac{150}{x+15}+0.5$

Енді теңдеуді шешеміз:
$\frac{150}{x}-\frac{150}{x+15}=0.5$
Ортақ бөлімге келтіреміз:
$\frac{150(x+15)-150x}{x(x+15)}=0.5$
Жоғарғы бөлігін ашамыз:
$\frac{150x+2250-150x}{x(x+15)}=0.5\;\Rightarrow\;\frac{2250}{x(x+15)}=0.5$
Екі жағын 2-ге көбейтеміз:
$4500=x(x+15)$
$x^2+15x-4500=0$
Дискриминант: $D=15^2+4\cdot4500=225+18000=18225$
$\sqrt{18225}=135$
$x=\frac{-15\pm135}{2}$
$x_1=60$ (қанағаттандырады), $x_2=-75$ (теріс, қабылданбайды).
Жауабы: $60$ км/сағ

Белгіленген жылдамдығы $x$ км/сағ болсын.
Жолдың жартысы: $\frac{72}{2}=36$ км.
Бірінші бөлікті $(x-3)$ жылдамдықпен өтті: $\frac{36}{x-3}$.
Екінші бөлікті $(x+3)$ жылдамдықпен өтті: $\frac{36}{x+3}$.
Барлығы жұмсалған уақыт: $\frac{36}{x-3}+\frac{36}{x+3}$.
Ал жоспарланған толық уақыт: $\frac{72}{x}$.
Кешігу уақыты:
$\left(\frac{36}{x-3}+\frac{36}{x+3}\right)-\frac{72}{x}=5-\frac{72}{x}$

Теңдікті құрамыз:
$\frac{36}{x-3}+\frac{36}{x+3}=5$
Ортақ бөлімге келтіреміз:
$\frac{36(x+3)+36(x-3)}{(x-3)(x+3)}=5$
Жоғарғы бөлігін ашамыз:
$36x+108+36x-108=72x$
Демек:
$\frac{72x}{x^2-9}=5$
Екі жақты көбейтеміз:
$72x=5(x^2-9)$
$72x=5x^2-45$
$5x^2-72x-45=0$
Дискриминант:
$D=72^2+4\cdot5\cdot45=5184+900=6084$
$\sqrt{6084}=78$
$x=\frac{72\pm78}{2\cdot5}$
$x_1=15$ (қанағаттандырады), $x_2=-1.2$ (теріс, қабылданбайды).
Нақты жүрген уақыты: $5$ сағат.
Жоспарланған уақыт: $\frac{72}{15}=4.8$ сағат = $4$ сағ $48$ мин.
Кешіккен уақыты: $12$ минут.
Жауабы: $12$ минут

Екінші пойыздың жылдамдығы $x$ км/сағ болсын.
Онда бірінші пойыздың жылдамдығы: $x+12$ км/сағ.
Қашықтық: $120$ км.
Екінші пойыз уақыты: $\frac{120}{x}$
Бірінші пойыз уақыты: $\frac{120}{x+12}$
Айырмасы 50 минут, яғни $\frac{5}{6}$ сағат:
$\frac{120}{x}-\frac{120}{x+12}=\frac{5}{6}$

Ортақ бөлімге келтіреміз:
$\frac{120(x+12)-120x}{x(x+12)}=\frac{5}{6}$
Жоғарғы бөлігін ашамыз:
$120x+1440-120x=1440$
Демек:
$\frac{1440}{x(x+12)}=\frac{5}{6}$
Екі жақты 6-ға көбейтеміз:
$\frac{8640}{x(x+12)}=5\;\Rightarrow\;8640=5x(x+12)$
$8640=5x^2+60x\;\Rightarrow\;5x^2+60x-8640=0$
Екі жақты 5-ке бөлеміз:
$x^2+12x-1728=0$
Дискриминант: $D=12^2+4\cdot1728=144+6912=7056$
$\sqrt{7056}=84$
$x=\frac{-12\pm84}{2}$
$x_1=36$ (қанағаттандырады), $x_2=-48$ (теріс, қабылданбайды).
Бірінші пойыздың жылдамдығы: $36+12=48$ км/сағ.
Жауабы: $36$ км/сағ және $48$ км/сағ

Жаяу адамның жылдамдығы $x$ км/сағ болсын.
Велосипедист жаяу адамнан әр сағатта 4.5 км артық жүрген, яғни оның жылдамдығы $x+4.5$.
Велосипедист жаяу адамнан 2 сағат кеш шыққан, бірақ олар $B$ пунктіне бір мезгілде жетті.
Жаяу адам жолда $t$ сағат болған болса, онда жүріп өткен жолы: $xt=18$.
Велосипедист $t-2$ сағат жүрген және жүріп өткен жолы: $(x+4.5)(t-2)=18$.
Екі теңдеуден жүйе құрамыз:

1) $xt=18$
2) $(x+4.5)(t-2)=18$
Бірінші теңдеуден $t=\frac{18}{x}$.
Оны екінші теңдеуге қоямыз:
$(x+4.5)\left(\frac{18}{x}-2\right)=18$
Жақшаны ашамыз:
$(x+4.5)\left(\frac{18-2x}{x}\right)=18$
$\frac{(x+4.5)(18-2x)}{x}=18$
Алымын ашамыз:
$(x+4.5)(18-2x)=18x$
$18x+81-9x-2x^2=18x$
$81-9x-2x^2=0$
$2x^2+9x-81=0$
Дискриминант: $D=81+4\cdot2\cdot81=81+648=729$
$\sqrt{729}=27$
$x=\frac{-9\pm27}{2\cdot2}$
$x_1=4.5$ (қанағаттандырады), $x_2=-9$ (теріс, қабылданбайды).
Велосипедисттің жылдамдығы: $x+4.5=9$ км/сағ.
Жауабы: $9$ км/сағ

Жүк машинасының жылдамдығы $x$ км/сағ болсын.
Жеңіл машинаның жылдамдығы $x+15$ км/сағ.
Жеңіл машина 2 минутқа кеш шыққан, яғни $\frac{1}{30}$ сағат.
Қуып жеткен кезде жүрілген қашықтық бірдей — 10 км.
Уақыт арқылы өрнектейміз:
Жүк машинасының уақыты: $\frac{10}{x}$
Жеңіл машина уақыты: $\frac{10}{x+15}$
Уақыт айырмасы 2 минутқа тең:
$\frac{10}{x}-\frac{10}{x+15}=\frac{1}{30}$

Ортақ бөлімге келтіреміз:
$\frac{10(x+15)-10x}{x(x+15)}=\frac{1}{30}$
Жоғарғы бөлігін ашамыз:
$10x+150-10x=150$
$\frac{150}{x(x+15)}=\frac{1}{30}$
Екі жақты 30-ға көбейтеміз:
$4500=x(x+15)$
$x^2+15x-4500=0$
Дискриминант: $D=15^2+4\cdot4500=225+18000=18225$
$\sqrt{18225}=135$
$x=\frac{-15\pm135}{2}$
$x_1=60$ (қанағаттандырады), $x_2=-75$ (теріс, қабылданбайды).
Жеңіл машинаның жылдамдығы: $60+15=75$ км/сағ.
Жауабы: $60$ км/сағ және $75$ км/сағ

Автобустың жылдамдығы: $45$ км/сағ
Велосипедисттің жылдамдығы: $12$ км/сағ
Автобус $B$–ға жетіп, 15 минут аялдап (яғни $0.25$ сағ), қайтып келе жатқанда жолдың ортасында велосипедистпен кездесті.
Жолдың ортасында кездескені — велосипедист $AB$ жолының жартысын жүрген.
Ол бұл аралықты $t$ сағатта жүрді дейік: $12t=\frac{S}{2}$ → $t=\frac{S}{24}$
Автобус бұл уақытта не істеді? Алдымен $S$ жолын барды: $t_1=\frac{S}{45}$,
15 минут аялдады: $0.25$ сағ,
кейін $\frac{S}{2}$ жол жүріп, ортасына жетті: $t_2=\frac{S}{90}$
Жалпы уақыт: $t=\frac{S}{45}+0.25+\frac{S}{90}$

Теңдікті құрамыз:
$\frac{S}{24}=\frac{S}{45}+0.25+\frac{S}{90}$
Оң жақтағы бөлшектерді ортақ бөлімге келтіреміз:
$\frac{S}{45}+\frac{S}{90}=\frac{2S+S}{90}=\frac{3S}{90}=\frac{S}{30}$
Сонда: $\frac{S}{24}=\frac{S}{30}+0.25$
Бөліктен құтыламыз:
Екі жақты $120$–ға көбейтеміз: $5S=4S+30$
$S=30$
Жауабы: $30$ км

Толық жол: $160$ км.
Автокөлікпен жүрген бөлігі: $\frac{5}{8}\cdot160=100$ км.
Катермен жүрген бөлігі: $160-100=60$ км.
Автокөлік жылдамдығы $x$ км/сағ болсын.
Онда катер жылдамдығы $x-20$ км/сағ.
Автокөлікпен жүрген уақыты: $\frac{100}{x}$.
Катермен жүрген уақыты: $\frac{60}{x-20}$.
Айырма: $\frac{100}{x}-\frac{60}{x-20}=\frac{1}{4}$ (15 мин)

Ортақ бөлімге келтіреміз:
$\frac{100(x-20)-60x}{x(x-20)}=\frac{1}{4}$
Жоғарғы бөлігін ашамыз:
$100x-2000-60x=40x-2000$
Демек:
$\frac{40x-2000}{x(x-20)}=\frac{1}{4}$
Екі жақты 4-ке көбейтеміз:
$4(40x-2000)=x(x-20)$
$160x-8000=x^2-20x$
$x^2-180x+8000=0$
Дискриминант: $D=180^2-4\cdot8000=32400-32000=400$
$\sqrt{400}=20$
$x=\frac{180\pm20}{2}$
$x_1=100$, $x_2=80$
Катердің жылдамдығы сәйкесінше: $80$ және $60$ км/сағ.
Тексеру:
$x=80\Rightarrow x-20=60$:
$\frac{100}{80}=1.25$, $\frac{60}{60}=1$ → айырма $0.25$ (дұрыс).
$x=100\Rightarrow x-20=80$:
$\frac{100}{100}=1$, $\frac{60}{80}=0.75$ → айырма $0.25$ (дұрыс).
Екі шешім де қанағаттандырады.
Жауабы: $(80;60)$ немесе $(100;80)$

Бірінші пойыздың жылдамдығы $x$ км/сағ, екінші пойыздың жылдамдығы $y$ км/сағ болсын.
1-жағдай. Екінші пойыз 1.5 сағат ерте шығады, олар жолдың ортасында (180 км + 180 км) кездеседі.
Бірінші пойыз жүрген уақыты $t$ сағ болса:
$x t = 180$,
$y\,(t+1.5)=180$.
2-жағдай. Егер олар бір мезгілде шықса, 5 сағаттан кейінгі ара қашықтық 90 км:
$360-(x+y)\cdot5 = 90\;\Rightarrow\;x+y = 54$.
Осыдан $x=\dfrac{180}{t}$, $y=\dfrac{180}{t+1.5}$ және
$\dfrac{180}{t}+\dfrac{180}{t+1.5}=54$ теңдігін аламыз.

Теңдеуді ықшамдаймыз:
$\dfrac{10}{t}+\dfrac{10}{t+1.5}=3$.
Ортақ бөлімге келтіреміз:
$10(t+1.5)+10t = 3t(t+1.5)$.
$20t+15 = 3t^2+4.5t$.
$3t^2-15.5t-15 = 0$.
Дискриминант $D = 15.5^2+4\cdot3\cdot15 = 420.25$.
$\sqrt{D}=20.5$.
$t=\dfrac{15.5+20.5}{6}=6$ (теріс түбір қабылданбайды).
Сонда $x=\dfrac{180}{6}=30$, $y=\dfrac{180}{7.5}=24$.
Жауабы: бірінші пойыз — 30 км/сағ, екінші пойыз — 24 км/сағ.

Бірінші автокөлік $A$–дан шыққан, жылдамдығы $x$ км/сағ.
Екінші автокөлік $B$–дан шыққан, жылдамдығы $y$ км/сағ.
Олар 1 сағаттан соң кездескен, яғни $x + y = 90$.
Біріншісі $B$–ға 27 минут кеш жетті, яғни $\frac{27}{60} = 0.45$ сағатқа кеш.
Кездескеннен кейінгі қалған қашықтықты табамыз:
Бірінші автокөлік кейін $y$ км, екіншісі $x$ км жүреді.
Уақыт қатынасын құрамыз:
$\frac{y}{x} = \frac{x}{y} + 0.45$

Теңдеуді $y^2 = x^2 + 0.45xy$ деп түрлендіреміз.
Ал $x + y = 90$ → $y = 90 - x$.
$y^2 = (90 - x)^2 = 8100 - 180x + x^2$
Теңдеуді қоямыз:
$8100 - 180x + x^2 = x^2 + 0.45x(90 - x)$
$8100 - 180x = 40.5x - 0.45x^2$
Екі жақты бір жаққа жинаймыз:
$0.45x^2 - 220.5x + 8100 = 0$
Барлық мүшені 100-ге көбейіп 5-ке бөлеміз:
$9x^2 - 4410x + 162000 = 0$
Дискриминант: $D = 4410^2 - 4\cdot9\cdot162000 = 19448100 - 5832000 = 13616100$
$\sqrt{D} = 3690$
$x = \frac{4410 \pm 3690}{18}$ → $x_1 = 120$, $x_2 = 40$
Жауаптар: $x = 40$, $y = 50$ немесе $x = 50$, $y = 40$.
Жауабы: $40$ км/сағ және $50$ км/сағ

Бірінші велосипедисттің жылдамдығы $x$ км/сағ, екіншісінікі $y$ км/сағ болсын.
Олар бір сағатта кездескен → $x+y=28$.
Кездескеннен кейін әрқайсысы тоқтамастан жүре береді:
Біріншісі қалған $y$ км жүріп $B$–ға барады: $t_1=\frac{y}{x}$
Екіншісі қалған $x$ км жүріп $A$–ға барады: $t_2=\frac{x}{y}$
$B$–ға біріншісі 35 мин, яғни $\frac{7}{12}$ сағат ертерек жетті:
$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{7}{12}$

Теңдеуді ықшамдаймыз:
$\frac{x^2 - y^2}{xy}=\frac{7}{12}$
Ал $x + y = 28$ → $x = 28 - y$
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) = (28 - 2y)\cdot28$
Демек:
$\frac{(28 - 2y)\cdot28}{y(28 - y)} = \frac{7}{12}$
Екі жақты 12-ге көбейтеміз:
$\frac{(28 - 2y)\cdot336}{y(28 - y)} = 7\cdot12 = 84$
Немесе бірден теңдеу құрамыз:
$\frac{(28 - 2y)\cdot28}{y(28 - y)} = \frac{7}{12}$
Айқас көбейтеміз:
$12(28 - 2y)\cdot28 = 7y(28 - y)$
$336(28 - 2y) = 7y(28 - y)$
$9408 - 672y = 196y - 7y^2$
$7y^2 - 868y + 9408 = 0$
Дискриминант: $868^2 - 4\cdot7\cdot9408 = 753424 - 263424 = 490000$
$\sqrt{490000} = 700$
$y = \frac{868 \pm 700}{14}$ → $y = 12$, $x = 16$
Жауабы: $x=16$ км/сағ, $y=12$ км/сағ

Бірінші ұшақтың жылдамдығы $192$ км/сағ, екіншісінікі $256$ км/сағ.
3 сағаттан кейін жүрген жолдары:
Бірінші: $192\cdot3=576$ км.
Екінші: $256\cdot3=768$ км.
Олар бір-біріне перпендикуляр бағытта қозғалғандықтан, арақашықтық Пифагор теоремасы бойынша:
$d=\sqrt{576^2+768^2}$

$576^2=331776$, $768^2=589824$
$d=\sqrt{331776+589824}=\sqrt{921600}=960$ км
Жауабы: $960$ км

Екінші пароходтың жылдамдығы $x$ км/сағ болсын.
Онда бірінші пароходтың жылдамдығы $x+6$ км/сағ.
2 сағат ішінде жүрген жолдары:
Біріншісі: $2(x+6)$ км
Екіншісі: $2x$ км
Олар перпендикуляр бағытта қозғалғандықтан, ара қашықтық Пифагор теоремасы бойынша:
$\sqrt{[2x]^2 + [2(x+6)]^2} = 60$

Есептейміз:
$[2x]^2 = 4x^2$
$[2(x+6)]^2 = 4(x^2 + 12x + 36) = 4x^2 + 48x + 144$
$4x^2 + 4x^2 + 48x + 144 = 60^2 = 3600$
$8x^2 + 48x + 144 = 3600$
$8x^2 + 48x - 3456 = 0$
$x^2 + 6x - 432 = 0$
Дискриминант: $D = 6^2 + 4\cdot432 = 36 + 1728 = 1764$
$\sqrt{1764} = 42$
$x = \frac{-6 \pm 42}{2}$ → $x_1 = 18$ (қанағаттандырады), $x_2 = -24$ (жарамсыз)
Бірінші пароход: $18+6=24$ км/сағ
Жауабы: $18$ км/сағ және $24$ км/сағ

Кесте бойынша жоспарланған жылдамдықты $x$ км/сағ деп белгілейміз.
Шын мәнінде пойыз $x+10$ жылдамдықпен жүрген.
Кешігу 6 минут, яғни $0.1$ сағат болған.
Жылдамдық арттыру арқылы сол 20 км аралықта кешігу жойылды:
$\frac{20}{x}-\frac{20}{x+10}=0.1$

Ортақ бөлімге келтіріп теңдеуді шешеміз:
$\frac{20(x+10)-20x}{x(x+10)}=0.1$
Жоғарғы бөлігін ашамыз: $20x+200-20x=200$
$\frac{200}{x(x+10)}=0.1$
Екі жақты 10-ға көбейтеміз:
$\frac{2000}{x(x+10)}=1\;\Rightarrow\;x(x+10)=2000$
$x^2+10x-2000=0$
Дискриминант: $100+8000=8100$ → $\sqrt{8100}=90$
$x=\frac{-10\pm90}{2}$ → $x_1=40$, $x_2=-50$ (жарамсыз)
Жауабы: $40$ км/сағ

Пойыз жолдың ортасына дейін қалыпты жылдамдықпен барып, сонда 10 минут кідіріп, қалған жарты жолды жылдамдығын 6 км/сағ арттырып жүрді.
Барлығы 60 км, яғни әр жартысы 30 км.
Алғашқы жылдамдығы $x$ км/сағ болсын.
Бірінші 30 км жолды $x$ жылдамдықпен жүрген уақыт: $\frac{30}{x}$.
Кешігу: $10$ минут = $\frac{1}{6}$ сағат.
Қалған 30 км жолды $x+6$ жылдамдықпен жүрді: $\frac{30}{x+6}$
Жалпы жүрген уақыт кестедегідей болу үшін:
$\frac{30}{x} + \frac{1}{6} + \frac{30}{x+6} = \frac{60}{x}$

Оң жақтағы уақыт — бастапқы жылдамдықпен 60 км жүру уақыты.
Енді теңдеуді ықшамдаймыз:
$\frac{30}{x} + \frac{1}{6} + \frac{30}{x+6} = \frac{60}{x}$
Сол және оң жақтағы $\frac{30}{x}$–терді қысқартамыз:
$\frac{1}{6} + \frac{30}{x+6} = \frac{30}{x}$
Енді ортақ бөлімге келтіріп теңдеуді шешеміз:
$\frac{30}{x} - \frac{30}{x+6} = \frac{1}{6}$
Жоғарғы бөлікті ашамыз:
$\frac{30(x+6) - 30x}{x(x+6)} = \frac{1}{6}$
$\frac{180}{x(x+6)} = \frac{1}{6}$
Екі жақты 6–ға көбейтеміз:
$\frac{1080}{x(x+6)} = 1\;\Rightarrow\;x(x+6) = 1080$
$x^2 + 6x - 1080 = 0$
Дискриминант: $36 + 4320 = 4356$
$\sqrt{4356} = 66$
$x = \frac{-6 \pm 66}{2}$ → $x_1 = 30$, $x_2 = -36$ (жарамсыз)
Жауабы: $30$ км/сағ

Бірінші перегон: 24 км.
Екінші перегон: 24 км + 15 км = 39 км.
Алғашқы жылдамдығы $x$ км/сағ болсын.
Екінші перегондағы жылдамдық: $x+4$ км/сағ.
Бірінші перегон уақыты: $\frac{24}{x}$.
Екінші перегон уақыты (тоқтау уақыты ескерілмейді): $\frac{39}{x+4}$.
Берілген шарт: екінші уақыт бірінші уақыттан 20 мин ($\frac13$ сағ) артық:
$\frac{39}{x+4}=\frac{24}{x}+\frac13$.

Теңдеуді шешеміз:
$\frac{39}{x+4}-\frac{24}{x}=\frac13\;\Longrightarrow\; \frac{39x-24(x+4)}{x(x+4)}=\frac13$.
$39x-24x-96=15x-96$.
$\displaystyle\frac{15x-96}{x(x+4)}=\frac13$.
Айқастырып көбейтеміз:
$3(15x-96)=x(x+4)$.
$45x-288=x^2+4x\;\Longrightarrow\;x^2-41x+288=0$.
$D=41^2-4\!\cdot\!288=529\;\Rightarrow\;\sqrt D=23$.
$x=\dfrac{41\pm23}{2}\;\Rightarrow\;x_1=32,\;x_2=9$.
$x=9$ км/сағ – паровоз үшін шындыққа сәйкес келмейтін өте кіші жылдамдық, сондықтан математикалық тұрғыдан мүмкін болғанымен, практикалық шешім ретінде қабылданбайды.
Алғашқы жылдамдық: 32 км/сағ.

Пойыздың бастапқы жылдамдығы $x$ км/сағ болсын.
Жолдың жартысы 420 км.
Алғашқы 420 км $x$ жылдамдықпен жүрген: $t_1 = \frac{420}{x}$
Кідіріс: 30 минут = 0.5 сағат
Қалған 420 км жолды $x+2$ жылдамдықпен жүрген: $t_2 = \frac{420}{x+2}$
Барлық уақыт: $t_1 + 0.5 + t_2$
Ал кесте бойынша жүретін уақыт: $\frac{840}{x}$
Екеуі тең: $\frac{420}{x} + 0.5 + \frac{420}{x+2} = \frac{840}{x}$

Теңдеуді ықшамдаймыз:
$\frac{420}{x} + \frac{420}{x+2} + 0.5 = \frac{840}{x}$
Сол және оң жақтағы $\frac{420}{x}$–терді қысқартамыз:
$\frac{420}{x+2} + 0.5 = \frac{420}{x}$
Теңдеуді құрамыз:
$\frac{420}{x+2} = \frac{420}{x} - 0.5$
Ортақ бөлімге келтіріп есептейміз:
$\frac{420x - 420(x+2)}{x(x+2)} = -0.5$
$420x - 420x - 840 = -840$ →
$\frac{-840}{x(x+2)} = -0.5$
Екі жақты –1 және 2–ге көбейтеміз:
$\frac{1680}{x(x+2)} = 1$ → $x(x+2) = 1680$
$x^2 + 2x - 1680 = 0$
Дискриминант: $4 + 4\cdot1680 = 6724$ → $\sqrt{6724} = 82$
$x = \frac{-2 \pm 82}{2}$ → $x = 40$, $x = -42$ (жарамсыз)
Алғашқы жылдамдық $x=40$, $x+2=42$
$t_1 = \frac{420}{40} = 10.5$, $t_2 = \frac{420}{42} = 10$
Барлық уақыт: $10.5 + 0.5 + 10 = 21$ сағат
Жауабы: $21$ сағат

Тауарлық пойыздың жылдамдығы $x$ км/сағ, жүрдек пойыздың жылдамдығы $y$ км/сағ болсын.
Екі пойыз бір уақытта шығып, 0.5 сағаттан кейін кездескені үшін:
$x\cdot0.5 + y\cdot0.5 = 75 \;\Rightarrow\; \frac{x + y}{2} = 75 \;\Rightarrow\; x + y = 150$.
Кездескеннен кейін:
Тауар пойызы қалған $y\cdot0.5$ км жол жүреді, уақыты: $\frac{0.5y}{x}$.
Жүрдек пойыз қалған $x\cdot0.5$ км жол жүреді, уақыты: $\frac{0.5x}{y}$.
Айырмасы 25 мин = $\frac{5}{12}$ сағат:
$\frac{0.5y}{x} = \frac{0.5x}{y} + \frac{5}{12}$

Екі жағын 2–ге көбейтеміз:
$\frac{y}{x} = \frac{x}{y} + \frac{5}{6}$
Айырмасын аламыз: $\frac{y}{x} - \frac{x}{y} = \frac{5}{6}$
Ортақ бөлімге келтіреміз: $\frac{y^2 - x^2}{xy} = \frac{5}{6}$
Ал $x + y = 150$ болғандықтан, $y = 150 - x$.
$y^2 - x^2 = (150 - x)^2 - x^2 = 22500 - 300x$
Теңдеу орнына қоямыз:
$\frac{22500 - 300x}{x(150 - x)} = \frac{5}{6}$
Айқас көбейтеміз:
$6(22500 - 300x) = 5x(150 - x)$
$135000 - 1800x = 750x - 5x^2$
$5x^2 - 2550x + 135000 = 0$
$x^2 - 510x + 27000 = 0$
Дискриминант: $510^2 - 4\cdot27000 = 260100 - 108000 = 152100$
$\sqrt{152100} = 390$
$x = \frac{510 \pm 390}{2}$ → $x_1 = 60$, $x_2 = 120$
$x=60 \Rightarrow y=90$ немесе $x=120 \Rightarrow y=30$
Жүрдек пойыз жылдамырақ болу үшін: $y=90$, $x=60$.
Жауабы: тауарлық — $60$ км/сағ, жүрдек — $90$ км/сағ

Жол ұзындығы – 6 км.
Бірінші адамның жылдамдығы: 3 км/сағ.
Екінші адамның жылдамдығы: $\frac{11}{2}$ км/сағ.
Екіншісі межелі жерге жеткенге дейінгі уақыты: $\frac{6}{11/2} = \frac{12}{11}$ сағ.
Осы уақытта бірінші адамның жүрген жолы: $3\cdot\frac{12}{11} = \frac{36}{11}$ км.
Қалған арақашықтық: $6 - \frac{36}{11} = \frac{30}{11}$ км.

Қозғалыс бір-біріне қарама-қарсы болған соң, қосынды жылдамдық: $3 + \frac{11}{2} = \frac{17}{2}$ км/сағ.
Қалған арақашықтықты жүретін уақыт:
$\frac{\frac{30}{11}}{17/2} = \frac{30}{11} \cdot \frac{2}{17} = \frac{60}{187}$ сағ.
Бірінші адам осы уақытта қосымша жүрген жолы:
$3\cdot\frac{60}{187} = \frac{180}{187}$ км.
Толық жүрген жолы:
$\frac{36}{11} + \frac{180}{187} = \frac{612 + 180}{187} = \frac{792}{187}$ км.
Жауабы: $\frac{792}{187}=\frac{72}{17}$ км

Пойыз жыраны толық өту үшін өзі мен жыраның ұзындығы бойынша қозғалады.
$v = 60$ км/сағ = $\frac{60\cdot1000}{60\cdot60} = \frac{1000}{60} = \frac{50}{3}$ м/с.
Уақыты: $0.3$ минут = $18$ секунд.
Жүрілген қашықтық: $s = v\cdot t = \frac{50}{3}\cdot18 = 300$ м.
Жыра ұзындығы — 200 м, сондықтан пойыздың ұзындығы:
$300 - 200 = 100$ м.

Жауабы: $100$ м